Euklidische Geometrie

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

Weiterhin dient der Begriff euklidische Geometrie als Gegenbegriff zu den nichteuklidischen Geometrien

Den Impuls gab dabei die Auseinandersetzung mit dem Parallelenpostulat. Nachdem jahrhundertelang zuvor vergeblich versucht worden war, dieses fünfte Postulat des Euklid auf ein einfacheres zurückzuführen, schlussfolgerten der Ungar János Bolyai und der Russe Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski um 1830, dass eine Verneinung dieses fünften Postulates zu logischen Widersprüchen führen müsse, wenn dieses tatsächlich auf einfachere Aussagen zurückgeführt werden könne. Also verneinten die beiden Mathematiker dieses Postulat und definierten jeweils eigene (Ersatz-)Postulate, die wider Erwarten zu einem logisch völlig einwandfreien geometrischen System - den nichteuklidischen Geometrien führten: "Nicht der Beweis war indes so beunruhigend, sondern vielmehr sein rationales Nebenprodukt, das schon bald ihn und fast alles in der Mathematik überschatten sollte: Die Mathematik, der Eckstein wissenschaftlicher Gewissheit, war auf einmal ungewiss geworden. Man hatte es jetzt mit zwei einander widersprechenden Visionen unantastbarer wissenschaftlicher Wahrheit zu tun", was zu einer tiefen Krise in den Wissenschaften führte" (Pirsig, 1973).

Die genaue Formulierung des Parallelenaxiom in der Geometrie von Lobatschewski lautet: „...durch einen auf einer Gerade nichtliegenden Punkt gehen mindestens zwei Geraden, die mit dieser in einer Ebene liegen und sie nicht schneiden...“

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