Euklidische Geometrie

Die moderne axiomatische Theorie

In einem anderen Sinne ist euklidische Geometrie eine am Ende des 19. Jahrhunderts entstandene, streng axiomatische Theorie. Die oben genannten Probleme wurden deutlich, als sich Russell, Hilbert und andere Mathematiker um eine strengere Grundlegung der Mathematik bemühten.

Sie wurden gelöst von David Hilbert in seinem Werk Grundlagen der Geometrie (Teubner 1899, zahlreiche Neuauflagen). Vorläufer waren Hermann Graßmann, Moritz Pasch, Giuseppe Peano und andere. Auch nach Hilbert wurden mehrere andere Axiomensysteme für die euklidische Geometrie aufgestellt.

Hilberts Vorgehensweise

David Hilbert verwendet „drei verschiedene Systeme von Dingen“, nämlich Punkte, Geraden und Ebenen, von denen er nur sagt: „Wir denken (sie) uns“. Diese Dinge sollen „in drei grundlegenden Beziehungen“ zueinander „gedacht werden“, nämlich „liegen“, „zwischen“ und „kongruent“. Zur Verknüpfung dieser „Dinge“ und „Beziehungen“ stellt er dann 20 Axiome in fünf Gruppen auf:

• Acht Axiome der Verknüpfung (Inzidenz)
• Vier Axiome der Anordnung (Ordnung)
• Fünf Axiome der Kongruenz (Kongruenz)
• Das Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
• Zwei Axiome der Stetigkeit (archimedisches Axiom und Vollständigkeitsaxiom)

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