Erzeuger (Algebra)

Eine in der Mathematik häufig gebrauchte Methode ist die des Erzeugendensystems oder auch erzeugendes System. Dabei wird ein mathematisches Objekt U mit Hilfe eines anderen, meist einfacheren Objekts E beschrieben, so dass mittels wohldefinierter Operationen aus dem einfacheren E das Ursprungsobjekt rekonstruiert werden kann. Üblicherweise ist E eine Teilmenge von U und die Operationen finden dann in U oder einem U enthaltenden Objekt M statt, verlassen U jedoch nicht.

In diesem Fall werden die Elemente eines Erzeugendensystems E sinngemäß als Erzeuger von U bezeichnet. Sie zeichnen sich durch die Eigenschaft aus, dass jedes Element mittels wiederholter Anwendung von Operationen auf Elemente erhalten werden kann und E selbst in U enthalten ist.

Diese intuitive Definition ist jedoch problematisch. Beispielsweise erklärt sie nicht, welches Objekt von der leeren Menge erzeugt wird (d.h. was im Falle keiner Operation passiert).

Daher führt man den Begriff des Erzeugnisses ein. Das Erzeugnis U von E zeichnet sich dadurch aus, dass es E enthält, unter allen erlaubten Operationen abgeschlossen ist, und unter allen Objekten, welche diese beiden Eigenschaften haben minimal ist. Die Existenz eines (eindeutigen) Erzeugnisses ist nicht immer offensichtlich.

Im Allgemeinen ist E durch U nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist meistens leicht zu zeigen, da oft tautologisch E = U gewählt werden kann. Hierdurch ist jedoch nichts gewonnen. Oft wird versucht, E minimal zu wählen. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom Zornschen Lemma Gebrauch (siehe bspw. Existenz einer Basis in Vektorräumen).

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