Inhalt

- Grundlagen der Mathematik

- Diskrete Mathematik

- Algebra

- Lineare Algebra

   - Vektorräume

       Beispiele

       Lineare Abhängigkeit

      - Unterräume

      - Erzeugendensysteme und

       Basis

         - Basen

          Dimension

      - Lineare Abbildungen

       Klassifikationssatz

       Dimensionsformel

       Dualräume

       Konvexe Mengen

       Quotientenvektorräume

   - Matrizen

   - Lineare Gleichungssysteme

   - Determinanten

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- Geometrie

- Analysis

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- Funktionalanalysis

- Differentialgeometrie

- Topologie

- Numerik

- Stochastik

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Erzeugendensysteme von Vektorräumen

Eine Teilmenge eines Vektorraums V über den Körper K ist ein Erzeugendensystem von V, wenn die lineare Hülle von M den gesamten Vektorraum V ergibt, also L(M) = span(M) = V. V heißt endlich erzeugt, wenn M eine endliche Menge ist.

Ist also M ein Erzeugendensystem von V, dann gibt es zu jedem ein sowie Elemente und , sodass .

Beispiele

Es gilt . Der wird also von den Vektoren (1, 0) und (0, 1) erzeugt.

Minimale Erzeugendensysteme

Ein Erzeugendensystem heißt minimal, wenn wir keine Vektoren aus ihm weglassen können, also

M ist minimales Erzeugendensystem

Satz 5329B (Minimale Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit)

Ein Erzeugendensystem M des Vektorraums V ist genau dann minimal, wenn M linear unabhängig ist.

Beweis

":" Sei M ein minimales Erzeugendensystem und linear abhängig. Dann gibt es und mit und für wenigstens ein i. Dann ist aber , mithin lässt sich v_i als Linearkombination von anderen Elementen aus M darstellen, im Widerspruch zur Annahme, dass M ein minimales Erzeugendensystem ist.

":" M sei nun ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Wir nehmen an, dass M nicht minimal ist, dann gibt es ein mit also im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Elemente aus M.

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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