Erwartungswert

Motivation

Die Definition des Erwartungswerts geschieht in Anlehnung an den gewichteten Mittelwert von Zahlen. Wurde mit einem Würfeln zehnmal hintereinander gewürfelt und jeweils die Augen gezählt, zum Beispiel 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5,kann der Mittelwert

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach relativer Häufigkeit gewichtet werden:

.

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in n Würfen sich wie

schreiben, worin h_n (k) die relative Häufigkeit der Augenzahl k darstellt.

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unabhängige Ausprägungen einer Zufallsvariable X betrachtet werden. Während die relativen Häufigkeiten sich mit wachsendem Stichprobenumfang n den Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen annähern, strebt der Mittelwert gegen den Erwartungswert von X, die Summe der möglichen Ausprägungen, gewichtet nach ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit:

{|

|E(X)||-|||}

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe, ist auch der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariable X.

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