Erwartungswert

Definitionen

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren folgende Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist X eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten annimmt (mit I als abzählbare Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert E(X) im Falle der Existenz mit:

Ist , so besitzt X genau dann einen endlichen Erwartungswert E(X), wenn die Konvergenzbedingung

erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Hat eine reelle Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, das heißt hat das Bildmaß P^X diese Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

.

In vielen Anwendungsfällen liegt Riemann-Integrierbarkeit vor und man hat

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