Endliche Menge

Dedekind-Endlichkeit

Eine andere Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen stammt von Dedekind. Er definierte:

• Eine Menge M heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, anderenfalls unendlich.

Man spricht heute von Dedekind-Endlichkeit bzw. Dedekind-Unendlichkeit

Um nun zu zeigen, dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist, genügt es, Folgendes zu zeigen:

1. Die leere Menge ist zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig.
2. Wenn M zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, dann ist auch zu keiner echten Teilmenge (von sich selbst) gleichmächtig.

(Punkt 1 ist klar, da die leere Menge keine echten Teilmengen hat. Zu Punkt 2 muss man zeigen, dass man aus einer Bijektion f' zwischen der Menge M' := und einer echten Teilmenge U' von M' eine Bijektion f zwischen M und einer echten Teilmenge U gewinnen kann.)

Umgekehrt ist jede Dedekind-endliche A Menge auch endlich, denn wäre A unendlich, so könnte man mit Hilfe des Auswahlaxioms eine Folge a₀ , a₁ , a₂ , ... von paarweise verschiedenen Elementen finden. Die Abbildung

zeigt dann, dass A zur echten Teilmenge gleichmächtig und daher nicht Dedekind-endlich ist. Widerspruch!

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