Elliptische Koordinaten

Im elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt.

Bei zweidimensionalen elliptischen Koordinaten lautet die Umrechnung in kartesische Koordinaten

u und v sind hier die Koordinaten. C ist ein frei wählbarer Parameter aus der Menge der reellen Zahlen R. v läuft von 0 bis 2π. u ist nicht beschränkt. Allerdings ist für bereits eine eineindeutige, d.h. bijektive Abbildung in die xy-Ebene gegeben. Die u-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen. Für u=0 ist die v-Koordinatenlinie zu einer Strecke von bis entartet. Für v=0 ist die u-Koordinatenlinie zu einer Halbgeraden entartet mit dem Wertebereich . Für v=π ist die u-Koordinatenlinie die an der y-Achse gespiegelte Halbgerade entlang der negativen x-Achse. Für v=π/2 und v=3π/2 ist die u-Koordinatenlinie die y-Achse, bzw. die an der x-Achse gespiegelte y-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität ae=C, wobei a die große Halbachse der Ellipse bzw. Hyperbel ist. Die numerische Exzentrizität einer Ellipse, auf der u=const ist, ist e=1/coshu. Die numerische Exzentrizität einer Hyperbel, auf der v=const ist, ist e=1/cosv.

Elliptische Koordinaten in der Ebene für C

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedenen Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z - Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel θ gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die θ-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. v läuft hier von 0 bis π, u von 0 bis unendlich und θ von 0 bis 2π.

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