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Ellipse
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Flächeninhalt
Mit den Halbachsen a und b:
In Polarkoordinaten lässt sich auch der Flächeninhalt als Funktion des (Polar-)Winkels φ darstellen:(Polarkoordinaten: Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts):
Für einen Ellipsensektor mit dem Winkel
erhält man:
Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung
- Ax2 + Bxy + Cy2 + 1 = 0
gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt
.
Umfang
Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs
Der Umfang einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen angegeben werden. Er kann nur als Integral dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird.
Der Umfang hängt von der numerischen Exzentrizität ε und der großen Halbachse a ab. E(ε) heißt elliptisches Integral und lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität ε der Wert des Faktors k = 4E(ε) für das Produkt
abgelesen werden.
Es gibt die Reihenentwicklung:
und Näherungen z. B.:
(nur auf etwa 10% genau) und
, wobei
.
Die letzte Näherung ist in einem weiten ε-Bereich von
sehr genau. Der relative Fehler nimmt danach mit zunehmendem ε zu und beträgt:
| Bereich | rel. Fehler |
|---|---|
| 0,0000 ≤ ε < 0,8820 | <10−9 |
| 0,8820 < ε < 0,9242 | < 10−8 |
| 0,9242 < ε < 0,9577 | < 10−7 |
| 0,9577 < ε < 0,9812 | < 10−6 |
| 0,9812 < ε < 0,9944 | < 10−5 |
| 0,9944 < ε < 0,9995 | < 10−4 |
| 0,9995 < ε < 1,0000 | < 0,000403 |
→ Siehe auch: Meridianbogen
Die numerische Exzentrizität für eine Ellipse mit der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b ist
Setzt man dieses ε in die obige von a und ε abhängige Integralgleichung ein, so erhält man eine Funktion für den Umfang mit a und b als Argumenten:
Die Umkehrung, also eine Abbildung, die (für eine gegebene Ellipse) der Bogenlänge einen Winkel zuordnet, ist eine elliptische Funktion.
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