Ellipse

Formelsammlung

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0),

Mittelpunkt (x₀|y₀), Hauptachse parallel zur X-Achse:

Herleitung

upright=2

Um die Ellipsengleichung herzuleiten (Mittelpunkt (0|0)), stellt man sich zuerst mit Hilfe des nebenstehenden Bildes folgendes Gleichungssystem auf:

(1) 2a = a₁ + a₂

(2) y² = a²₁ - (e + x)²

(3) y² = a²₂ - (e - x)²

(4) a² = b² + e²

Formel (1) ist hierbei ein direktes Resultat der Ellipsendefinition. Nach y² aufgelöst, wobei a₁, a₂ und e eliminiert werden, erhält man:

Wenn man nun alle Variablen auf eine Seite bringt, erhält man obige Gleichung für die Ellipse.

Praktisch, um aus den zwei Bahnelementen numerische Exzentrizität und große Halbachse eine Planetenbahn als Graph darzustellen, ist folgende Funktion. Man erhält sie, wenn man (4) verändert in ε=e/a und dann nach y² auflöst:

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