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Grundlagen der Mathematik

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Durchschnitt von Mengen

Venndiagramm für den Durchschnitt

Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist als diejenige Menge definiert, die alle Elemente enthält, die in beiden Mengen vorhanden sind.

oder für die Elemente

A und B heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist ().

Satz 12ME (Eigenschaften des Durchschnitts)

Für Mengen A, B und C gilt:

(Kommutativgesetz)
(Assoziativgesetz)
(Idempotenz)
und

Beweis

Den Beweis dieser Beziehung wird über die Elemente geführt unter Bezugnahme auf die entsprechenden aussagenlogischen Beziehungen. Dies soll am Kommutativgesetz exemplarisch vorgeführt werden: Wenn gilt also - da kommutativ ist - auch . Damit haben wir , womit gezeigt ist . Die Umkehrung zeigt man analog.

Im Allgemeinen kann man die Beweise der Mengenbeziehungen auf aussagenlogische Identitäten reduzieren, daher werden wir die Beweise nur noch angeben, wenn sie etwas Neues enthalten.

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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