Dualsystem

Anwendung

Leibniz empfand schon Ende des 17. Jahrhunderts die Dyadik (dyo, griech. = Zwei), also die Darstellung von Zahlen im Dualsystem, die er entwickelte, als sehr wichtig. Er sah darin ein so überzeugendes Sinnbild des christlichen Glaubens, dass er damit den chinesischen Kaiser Kangxi überzeugen wollte. Dazu schrieb er an den französischen Jesuitenpater Bouvet:

„Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben.“

Das binäre Zahlensystem in einem ersten Entwurf von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1697

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Etwas weltlicher fiel hingegen seine Beschreibung in einem Brief an den Herzog Rudolf von Braunschweig-Wolfenbüttel vom 2. Januar 1697 aus:

Wohl weil die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, griff Leibniz beim Bau seiner Rechenmaschinen auf das Dezimalsystem zurück.

Bei der späteren Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an/Strom aus oder Spannung/Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die einfachste Methode, um mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden.

Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von Festkommazahlen oder ganzen Zahlen Verwendung. Negative Zahlen werden vor allem als Zweierkomplement dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Seltener wird dazu das Einerkomplement verwendet, welches der invertierten Darstellung von Dualzahlen mit vorangestellter Eins entspricht. Die Darstellung von negativen Zahlen im Einerkomplement hat den Nachteil, dass zwei Darstellungen für die Null existieren, einmal im Positiven und einmal im Negativen. Eine weitere Alternative bietet der auf einer Wertebereichsverschiebung basierende Exzesscode.

Um rationale oder gar reelle Zahlen mit nicht abbrechender Dualzahl-Darstellung näherungsweise in der elektronischen Datenverarbeitung darzustellen, werden vorzugsweise Gleitkommadarstellungen verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in Mantisse und Exponent aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann in Form von Dualzahlen gespeichert.

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