Dreiecksungleichung

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gilt:

Beweis

Weil beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

Durch Streichen identischer Terme gelangen wir zur äquivalenten Ungleichung

Diese Ungleichung gilt, weil für beliebige

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:

Es gilt Einsetzen von amathrel := x + y, bmathrel := - y gibt

setzt man stattdessen bmathrel := - x so ergibt sich

zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen u und c mit und gilt auch )

Ersetzt man y durch - y, so erhält man auch

Insgesamt also

für alle

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