Dreiecksungleichung

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

Beweis

Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt zmathrel := z₁ z₂ , so bleibt

zu zeigen. Mit z = u + iv erhält man

bzw.

was wegen und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch

für alle

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