Dreiecksungleichung

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für Dreiecke

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn das Dreieck entartet ist und a und b Teilstrecken von c sind.

Da aus Symmetriegründen auch gilt, folgt , analog erhält man , insgesamt also

.

Die linke Ungleichung wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

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