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Diskrete Fourier-Transformation

Definition
\tfrac1N\left(\hat a_0+\hat a_1e^{\mathrm{i}2\pi\frac{t-t_0}T}+\hat a_2e^{2\cdot \mathrm{i}2\pi\frac{t-t_0}T} + \dots
\frac1N&\left(\hat a_0+\hat a_1e^{\mathrm{i}2\pi\frac{t-t_0}T}+\hat a_2e^{2\cdot \mathrm{i}2\pi\frac{t-t_0}T}+\dots+\hat a_{M-1}e^{(M-1)\cdot \mathrm{i}2\pi\frac{t-t_0}T}\right.\\
\sum_{j/ \sum_{j/ \overline{\hat a_k} \,
	Mehrdimensionale DFT
Verschiebung und Skalierung in Zeit und Frequenz
\sum_{k/ \frac1N \sum_{k/ Beispiele
	Einfache Blenden
	Bild mit periodischen Strukturen
Mathematische Grundlage
Interpretationen der DFT
	Diskretisierung von Fourier-Reihen
Eigenschaften
	Alias-Effekt
	DFT einer zeitbegrenzten Funktion
	Leck-Effekt (Leakage effect)
	Gleitende DFT als Bandfilterbank/ Unschärfe-Relation der gleitenden DFT
FFT/ Goertzel-Algorithmus
Anwendungen/ Siehe auch

Diskrete Fourier-Transformation

Die Diskrete Fourier-Transformation oder DFT ist eine Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie bildet ein zeitdiskretes, endliches Signal, welches periodisch fortgesetzt wird, auf ein diskretes, periodisches Frequenzspektrum ab, welches auch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DFT besitzt zur Signalanalyse große Bedeutung in der digitalen Signalverarbeitung, wo optimierte Varianten in Form der schnellen Fourier-Transformation (, FFT) und ihrer Inversen Anwendung finden.

Die DFT wird in der Signalverarbeitung für viele Aufgaben verwendet, so z. B.

zur Bestimmung der in einem abgetasteten Signal hauptsächlich vorkommenden Frequenzen,
zur Bestimmung der einzelnen Amplituden zu diesen Frequenzen
zur Implementierung digitaler Filter mit großen Filterlängen

Mit der inversen DFT (iDFT) kann aus den Frequenzanteilen wiederum das Signal im Zeitbereich rekonstruiert werden. Durch Kopplung von DFT und iDFT kann ein Signal im Frequenzbereich manipuliert werden, wie es beim Equalizer angewendet wird. Die Diskrete Fourier-Transformation ist von der verwandten Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (, DTFT) zu unterscheiden, welche aus zeitdiskreten Signalen ein kontinuierliches Frequenzspektrum bildet.

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