Differentialrechnung

Verallgemeinerungen und verwandte Gebiete

• In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.
• In der Differentialgeometrie werden gekrümmte Flächen untersucht. Hierzu wird der Begriff der Differentialform benötigt.
• Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen f(x) zwischen zwei normierbaren topologischen Vektorräumen X und Y übertragen (s. Hauptartikel: Fréchet-Ableitung, Gâteaux-Differential, Lorch-Ableitung): f heißt dann in Fréchet-differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator existiert, so dass

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• Eine Übertragung des Begriffes der Ableitung auf andere Ringe als und (und Algebren darüber) ist die Derivation.
• Die diskrete Differentialrechnung überträgt die Differentialrechnung auf Reihen.

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