Differentialrechnung

Taylor-Reihen und Glattheit

Ist f eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion im Intervall I, dann gilt für alle a und x aus I die Darstellung der sogenannten Taylor-Formel:

f(x) = T_n (x) + R_{n + 1} (x)

mit dem n-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

und dem (n + 1)-ten Restglied

Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a

Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass f sich durch die Taylor-Reihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.

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