Differentialrechnung

Mehrfache Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion f wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von f als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar etc. sein.

Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts x(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Aus der Physik kommt die Schreibweise , (Sprich: x Punkt), für Ableitungen einer beliebigen Funktion nach der Zeit.

Wenn Politiker sich erfreut über den „Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl“ äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden:

oder im physikalischen Fall (bei einer Ableitung nach der Zeit)

Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen f⁽ⁿ⁾ legt man außerdem fest, dass f⁽¹⁾ = f' und f⁽⁰⁾ = f.

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