Differentialrechnung

Definition

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ , bezeichnet mit f '(x₀ ), beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle x₀ . Nun wird x₀ im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der f differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich von f die Ableitung an dieser Stelle (also f '(x)) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion f ', deren Definitionsbereich die Menge aller Punkte ist, an denen f differenzierbar ist. Diese Funktion f ' heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von f und man sagt, f ist auf differenzierbar. Beispielsweise hat die Quadratfunktion an einer beliebigen Stelle x₀ die Ableitung f'(x₀ ) = 2x₀ , die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion f' ist gegeben durch .

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion e^x und ihre Vielfachen.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt f stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung für die Gesamtheit (Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge wird der entsprechende Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit abgekürzt.

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