Differentialrechnung

Definition

Einführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion f in einem Punkt (x₀ | f(x₀ )). Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an f über einem endlichen Intervall:

Sekantensteigung = .

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation für kann man die Sekantensteigung abgekürzt als schreiben.

Ableitung einer Funktion

Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit:

„Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr (x₀ ) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand f(x₀ ) = 198 km). Um 11:04 Uhr () war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand =341 km). In 1 Stunde und 21 Minuten () habe ich somit 143 km () zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143 km / 1,35 h = 106 km/h ().“

Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl als auch gegen Null. Der Quotient bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

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