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Differentialrechnung
Differentialrechnung
Berechnung von Ableitungen
Ableitungsregeln
Ableitungen zusammengesetzter Funktionen, z.B. sin(2x) oder 
, führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück (siehe auch: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).
Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien f, g und h (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, n und a reelle Zahlen, dann gilt:
- Ist f eine an der Stelle x0
differenzierbare, bijektive Funktion mit
, und ihre Umkehrfunktion f-1 bei f(x0 ) differenzierbar, dann gilt:
- Spiegelt man einen Punkt P des Graphen von f an der 1. Winkelhalbierenden und erhält damit P* auf f-1 , so ist die Steigung von f-1 in P* der Kehrwert der Steigung von f in P
- Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion f:
- Ein Bruch der Form f '/f wird logarithmische Ableitung genannt.
- Ableitung der Potenzfunktion:
- Um mathsff(x) = g(x)h(x)
abzuleiten, erinnert man sich, dass Potenzen mit reellen Exponenten auf dem Umweg über die Exponentialfunktion definiert sind:
. Anwendung der Kettenregel und – für die innere Ableitung – der Produktregel ergibt
.
- Die Ableitung n-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei n-fach differenzierbaren Funktionen f und g ergibt sich aus
.
- Die hier auftretenden Ausdrücke der Form
sind Binomialkoeffizienten.
- Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der n-ten Ableitung der Komposition zweier n-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.
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