Differentialrechnung

Anwendungen

Berechnung von Minima und Maxima

Kurvendiskussion

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich unter anderem bei monotonen Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, im folgenden werden jedoch nur zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir die Polynomfunktion f mit dem Funktionsterm

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Graphen von f, f' und f'' .

Waagerechte Tangenten

Besitzt eine Funktion mit in einem Punkt ihren größten Wert, gilt also für alle x dieses Intervalls , und ist f im Punkt x₀ differenzierbar, so kann die Ableitung dort nur gleich null sein: f'(x₀ ) = 0. Eine entsprechende Aussage gilt, falls f in x₀ den kleinsten Wert annimmt.

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass der Graph der Funktion in lokalen Extrempunkten eine parallel zur x-Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt.

Es ist somit für differenzierbare Funktionen eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert 0 annimmt:

f^´ (x₀ ) = 0

Umgekehrt kann daraus, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert null hat, noch nicht auf eine Extremstelle geschlossen werden, es könnte auch beispielsweise ein Sattelpunkt vorliegen. Eine Liste verschiedener hinreichender Kriterien, deren Erfüllung sicher auf eine Extremstelle schließen lässt, findet sich im Artikel Extremwert. Diese benutzen meist die zweite oder noch höhere Ableitungen.

Notwendige und hinreichende Bedingung im Beispiel

Im Beispiel ist

Daraus folgt, dass f^´ (x) = 0 genau für x = 1 und x = 3 gilt. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind f(1) = 4/3 und f(3) = 0, d. h. die Kurve hat in den Punkten (1 | 4/3) und (3 | 0) waagerechte Tangenten, und nur in diesen.

Da die Folge

abwechselnd aus kleinen und großen Werten besteht, muss in diesem Bereich ein Hoch- und ein Tiefpunkt liegen. Nach dem Satz von Fermat hat die Kurve in diesen Punkten eine waagerechte Tangente, es kommen also nur die oben ermittelten Punkte in Frage: Also ist (1 | 4/3) ein Hochpunkt und (3 | 0) ein Tiefpunkt.

Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkt, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen ist Gegenstand der Kurvendiskussion.

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