Differentialrechnung

Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen

Implizite Differentiation

→ Hauptartikel: Implizite Differentiation

Ist eine Funktion durch eine implizite Gleichung gegeben, so folgt aus der verallgemeinerten Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt

F_x + F_y y' = 0

Für die Ableitung der Funktion y ergibt sich daher

mit

Totale Differenzierbarkeit

→ Weiterführender Artikel: Totale Ableitung

Eine Funktion , wobei U eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung existiert, so dass

gilt.

Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung L ist bei Existenz eindeutig bestimmt, ist also insbesondere unabhängig von der Wahl äquivalenter Normen. Die Tangente wird also durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von f nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine -Matrix. Für m = 1 erhält man den oben beschriebenen Gradienten.

Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang:Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt x₀ nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von x₀ stetig, dann ist die Funktion in x₀ auch total differenzierbar.

Wichtige Sätze

• Satz von Schwarz: Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung von partiellen Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind.
• Satz von der impliziten Funktion: Funktionsgleichungen sind lösbar, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen lokal invertierbar ist.

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