Differentialgeometrie

Teilgebiete

Kontaktgeometrie

Das Analogon zur symplektischen Geometrie für ungeraddimensionale Mannigfaltigkeiten ist Kontaktgeometrie. Eine Kontaktstruktur auf einer 2n+1-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist eine Familie H von Hyperebenen des Tangentialbündels, die maximal nicht-integrabel sind. Lokal können diese Hyperebenen als Kern einer 1-Form α dargestellt werden, d.h.

H_p=ker α_p ⊂ T_pM

Umgekehrt ist eine Kontaktform lokal eindeutig bestimmt durch die Familie H, bis auf einen nichtverschwindenden Faktor. Die Nichtintegrabilität bedeutet, dass dα beschränkt auf die Hyperebene nicht-entartet ist. Wenn die Familie H global durch eine 1-Form α beschrieben werden kann, dann ist α Kontaktform genau dann, wenn

α∧(dα)ⁿ eine Volumenform auf M ist.

Es gilt ein Theorem analog zum Darboux-Theorem für symplektische Mannigfaltigkeiten, nämlich, dass alle Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension 2n+1 lokal isomorph sind. Damit gibt es auch in der Kontaktgeometrie nur globale Invarianten.

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