Differentialgeometrie

Teilgebiete

Komplexe Geometrie und Kählergeometrie

Komplexe Geometrie ist das Studium von komplexen Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, die lokal wie Cⁿ aussehen und deren Übergangsfunktionen komplex-differenzierbar (holomorph) sind. Wegen der analytischen Eigenschaften komplex-differenzierbarer Funktionen, hat man hier häufig Eindeutigkeitseigenschaften der Fortsetzung lokaler Funktionen/ Vektorfelder. Deshalb ist man bei globalen Untersuchungen meist auf die Theorie der Garben angewiesen. Eine fast-komplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung J:TM→TM, sodass J²=-1. Damit sind alle fast-komplexen Mannigfaltigkeiten von gerader Dimension. Der Unterschied zwischen einer fast-komplexen und einer komplexen Mannigfaltigkeit ist die Integrabilität der fast-komplexen Struktur. Diese wird vom Nijenhuis-Tensor N_J gemessen.

Eine hermitesche Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermiteschen Metrik g auf dem komplexifizierten reellen Tangentialbündel. Insbesondere muss g mit der komplexen Struktur J kompatibel sein, namentlich

g(X,Y)=g(JX,JY) für alle X,Y in T_xM.

Als besonders strukturreich haben sich Hermitesche Mannigfaltigkeiten erwiesen, deren hermitesche Metrik zusätzlich kompatibel mit einer symplektischen Form sind, d.h.

g(JX,Y)=ω(X,Y) mit dω=0.

In diesem Fall spricht man von einer Kählermannigfaltigkeit.

Schließlich befasst sich die Cauchy-Riemann-Geometrie mit berandeten komplexen Mannigfaltigkeiten.

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