Differentialgeometrie

Methoden

Krümmungstensor

Die oben erwähnte Raumkrümmung ergibt sich analog: Wenn man den Basisvektor im mathematisch positivem Sinn (entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn) erst eine infinitesimale Strecke in -Richtung und anschließend eine infinitesimale Strecke in -Richtung verschiebt, erhält man ein Ergebnis, das wir in der Form schreiben können. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also bei entgegengesetztem Drehsinn, erhält man das entgegengesetzte Ergebnis. Die Differenz lässt sich also mit einer Größe , die sich aus den Christoffelsymbolen ergibt, in folgender Form schreiben:

Bei Parallelverschiebung des Vektors v ergibt sich entsprechend:    Die Komponenten bilden den Krümmungstensor. (In den sog. Yang-Mills-Theorien wird dieser Begriff verallgemeinert.)

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