Differentialgeometrie

Methoden

Kovariante Ableitung

Allgemeine, auf nicht notwendig orthogonalen krummlinigen Koordinaten beruhende Ableitungsoperatoren sind z. B. die kovarianten Ableitungen, die u. a. in Riemannschen Räumen verwendet werden, wo sie in spezifischer Weise vom „inneren Produkt“, d. h. von der sog. „metrischen Fundamentalform“ des Raumes, abhängen. In anderen Fällen sind sie aber unabhängig von der Existenz einer lokalen Metrik oder können sogar extern vorgegeben sein, z. B. in Mannigfaltigkeiten „mit Konnexion“.

Sie ermöglichen u. a. die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z. B. die Definition von Geodäten im Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die lokal kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten in diesen Räumen. Die Längenkreise auf einer Kugel sind Beispiele für geodätische Linien, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im Riemannschen Raum die Christoffelsymbole definiert.Diese gehen, entsprechend der unten gegebenen Basisdefinition, explizit in die Berechnung der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Im Gegensatz zur partiellen Ableitung erhält sie die Tensoreigenschaft; im euklidischen Raum reduziert sie sich zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemann'schen Krümmungstensors verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die kovariante Ableitung der Komponenten eines Vektors ist bei Parallelverschiebung null. Trotzdem kann die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve im gekrümmten Raum dazu führen, dass sich der verschobene Vektor nicht mit seinem Ausgangsvektor deckt.

Der zugehörige Formalismus beruht auf der Vorschrift, dass man Vektoren v als Summe schreibt, wobei sich u. U. (nämlich gerade bei obigem „Paralleltransport“) nicht die Komponenten , sondern nur die Basiselemente ändern, und zwar nach der naheliegenden Regel: .  Kovariante  und  partielle  Ableitung, meist mit Semikolon bzw. Komma geschrieben, sind also verschieden, und zwar gilt:

  also     oder auch

In Mannigfaltigkeiten mit Zusatzstruktur (z. B. in riemannschen Mannigfaltigkeiten oder bei den sog. Eichtheorien) muss natürlich diese Struktur mit der Übertragung verträglich sein. Das ergibt Zusatzbeziehungen für die Christoffelsymbole. Z. B. dürfen sich bei riemannschen Räumen die Abstands- und Winkelverhältnisse zweier Vektoren bei Parallelverschiebung nicht ändern, und die Christoffelsymbole berechnen sich demzufolge in bestimmter Weise allein aus der metrischen Struktur.

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