Differentialgeometrie

Methoden

Koordinatentransformationen

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen. Sollen beispielsweise Abstände auf einer Kugeloberfläche untersucht werden, so werden meist Kugelkoordinaten verwendet. Betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man dagegen eher kartesische Koordinaten. Mathematisch gesehen ist zu beachten, dass Koordinatentransformationen stets bijektive, beliebig oft stetig differenzierbare Abbildungen sind. Es existiert also immer auch die Inverse zu der betrachteten Koordinatentransformation.

Ein einfaches Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten. Jeder Ortsvektor des zweidimensionalen euklidischen Raumes lässt sich bei dieser Darstellung durch die Koordinaten und in der folgenden Weise ausdrücken

x und y werden dabei auch als Komponentenfunktionen von f bezeichnet. Sie berechnen sich in Abhängigkeit von den zwei Koordinaten gemäß:

Werden nun ganz allgemein alle Koordinaten des neuen Koordinatensystems bis auf eine Koordinate konstant gehalten und die einzelne Koordinate innerhalb des Definitionsbereiches verändert, entstehen im euklidischen Raum Linien, die auch als Koordinatenlinien bezeichnet werden. Im Falle der angegebenen Polarkoordinaten entstehen so bei konstanter r Koordinate konzentrische Kreise mit Radius r um den Koordinatenursprung (x, y) = (0, 0) des euklidischen Koordinatensystems. Bei konstanter Koordinate entstehen Halbgeraden, die im Koordinatenursprung des euklidischen Koordinatensystems starten und nach laufen. Mit Hilfe dieser Koordinatenlinien lässt sich in naheliegender Weise für jeden Punkt des euklidischen Raumes ein neues, räumlich gedrehtes und wieder rechtwinkliges Koordinatensystem definieren. Man spricht daher bei Polarkoordinaten auch von rechtwinkligen Koordinaten. Die Achsen des gedrehten Koordinatensystems sind dabei gerade die Tangenten an die Koordinatenlinien, die durch den Punkt P laufen. Die Basisvektoren dieser ortsabhängigen und rechtwinkligen Koordinatensysteme lassen sich dabei direkt über die partiellen Ableitungen des Ortsvektors, gemäß der oben angegebenen Darstellung, nach den variablen Koordinaten berechnen. Über die partiellen Ableitungen lassen sich auch die totalen Differentiale des Ortsvektors angeben:

Die Differentiale dx,dy,dr, werden auch als Koordinatendifferentiale bezeichnet. Bei diesem Beispiel haben die mit dem Differentialoperator „d“ verknüpften infinitesimalen Größen nicht immer die Bedeutung eines Abstandes. Man zeigt vielmehr relativ leicht, dass für die Abstände in radialer bzw. azimutaler Richtung gilt, dass zwar     dl_r := dr ist, aber ; d. h. erst mit dem Vorfaktor „r“ ergibt sich durch Integration über von 0 bis eine bekannte Größe der Dimension „Länge“, nämlich der Kreisumfang .

Die Polarkoordinaten oder ihre dreidimensionale Verallgemeinerung, die Kugelkoordinaten, werden auch als krummlinig bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, z. B. der Kugeloberfläche, ermöglichen. Es handelt sich – wie auch bei anderen Standardbeispielen, etwa den Zylinderkoordinaten, den elliptischen Koordinaten u.s.w. – um orthogonale krummlinige Koordinaten (siehe auch: Krummlinige Koordinaten).

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassischen Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können.

Die aus der Analysis bekannten, mit der Größe gebildeten Differentialoperatoren können relativ leicht auf orthogonale krummlinige Differentialoperatoren erweitert werden. Z. B. gelten in allgemeinen orthogonalen krummlinigen Koordinaten bei Benutzung dreier Parameter u_i , i = 1, ..., 3 und der zugehörigen Einheitsvektoren e_i in Richtung von folgende Beziehungen mit Größen a_i , die nicht notwendig konstant sind, sondern von u₁ , u₂ und u₃ abhängen können:

Dabei entstehen die durch Punkte angedeuteten zwei weiteren Terme aus dem ersten Term durch zyklische Vertauschung der Indizes. bezeichnet den Laplace-Operator. Er kann aus dem Skalar-wertigen div-Operator und dem Vektor-wertigen grad-Operator zusammengesetzt werden gemäß

wobei

Die Formel für die Divergenz beruht auf der koordinatenunabhängigen Darstellung

wobei über die geschlossene, berandende Fläche integriert wird. n bezeichnet den zugehörigen äußere Normalenvektor, d⁽²⁾ A das zugehörige infinitesimale Flächenelement, .Im allgemeinsten Fall – also für nicht-orthogonale, krummlinige Koordinaten – kann man diese Formel ebenfalls verwenden.

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