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Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Endomorphismen

Sei jetzt V ein Vektorraum über beliebiger Dimension und ein Endomorphismus. Für alle gilt:

=

ist ein Unterraum von V.

Definitionen

Ein Skalar heißt Eigenwert des Endomorphismus , wenn ist, das heißt wenn ein Eigenvektor existiert mit . heißt dann Eigenraum von f zum Eigenwert , und seine Dimension die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes .

Bemerkungen

1. Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor und kein Eigenraum ist 0-dimensional.
2. Eigenwert von nicht regulär ().
   Anders ausgedrückt (Fredholm-Alternative): Entweder ist Eigenwert von f, oder ist regulär.

Beispiele

Sei und . f ist eine Streckung in y-Richtung und eine Stauchung in x-Richtung. ist ein Eigenvektor zum Eigenwert und ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.

Sei und . f ist eine Drehung und hat gar keine Eigenvektoren.

Die Nullabbildung hat nur den Eigenwert 0 und alle Vektoren sind Eigenvektoren.

Die identische Abbildung hat nur den Eigenwert 1 und alle Vektoren sind Eigenvektoren.

Einige Eigenschaften von Eigenwerten, Eigenräumen:

Satz 816H

Ein Eigenraum zum Eigenwert von ist invariant, das heißt es gilt , sogar , falls .

Beweis

mit

.

Satz 816I

Die Eigenvektoren x₁ , ..., x_m zu paarweise verschiedenen Eigenwerten eines Endomorphismus sind linear unabhängig.

Beweis

Durch vollständige Induktion nach der Anzahl m:

Induktionsanfang: Ein Eigenvektor x₁ ist nach Definition nicht der Nullvektor, also linear unabhängig.

Induktionsannahme: Die Behauptung gelte für je m Vektoren.

Induktionsschluss: Wir nehmen an, die Eigenvektoren x₁ , ..., x_{m + 1} seien linear abhängig, das heißt es existiert eine nichttriviale Linearkombination

(1)

.

Die Anwendung von f liefert ebenfalls

(2)

.

Die Multiplikation von (1) mit (k = 1, ..., m + 1) und Subtraktion von (2) liefert dann:

Dies ist für mindestens ein k eine nichttriviale Linearkombination aus m Eigenvektoren, die Null ergibt, im Widerspruch zur Induktionsannahme.

Folgerung: Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte eines Endomorphismus ist nicht größer als die Dimension von V.

Eine weitere Folgerung ist:

Satz 816J

Die Summe von Eigenräumen zu paarweise verschiedenen Eigenwerten ist direkt, das heißt . Insbesondere haben Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten und nur den Nullvektor gemeinsam: .

Beweis

Indirekt:sei und x habe keine eindeutige Darstellung. Also x = x₁ + ... + x_m = y₁ + ... + y_m mit und für mindestens ein mit und für mindestens ein j, etwa linear abhängig. Widerspruch zu Satz 816I.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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