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Definition der Determinante

Eine alternierende n-Form mit der Eigenschaft det(e₁ , ..., e_n ) = 1 heißt Determinante oder auch Determinantenfunktion. Analog definiert man für Matrizen mit .

Ist , so schreibt man auch | A | := det(A).

Sei , dann definieren wir die Matrix als diejenige Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte hervorgeht.

Satz 16N1 (Laplacescher Entwicklungssatz)

Wir berechnen det(A) durch "Entwicklung nach der i-ten Zeile":

(1)

,

wobei det(a) = a für gelten soll.

Die in (1) definierte Funktion ist eine Determinantenfunktion.

Beispiel (n = 2)

= (-1)^{1 + 1} a₁₁ a₂₂ + (-1)^{1 + 2} a₁₂ a₂₁ = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ .

Vom Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen wird das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen abgezogen.

Beispiel (n = 3)

= - a₂₁ (a₁₂ a₃₃ - a₃₂ a₁₃ ) + a₂₂ (a₁₁ a₃₃ - a₃₁ a₁₃ ) - a₂₃ (a₁₁ a₃₂ - a₃₁ a₁₂ )

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₃₁ a₁₂ a₂₃ - a₃₁ a₂₂ a₁₃ - a₁₁ a₃₂ a₂₃ - a₂₁ a₁₂ a₃₃

Sarussche Regel

Sarussche Regel

Diese Berechnungsformel heißt Sarussche Regel und kann einfach erhalten werden, indem man die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix schreibt und dann wie in der Grafik veranschaulicht die jeweiligen Produkte addiert oder subtrahiert.

Beweis

Wir bewiesen den Entwicklungssatz durch vollständige Induktion über die Dimension n des Vektorraums. Dazu benutzen wir det_n zur Bezeichnung der Determinantenfunktion für die Dimension n.

Induktionsanfang: Für n = 1 ist det₁ (a) = a für beliebiges eine Determinantenfunktion (vgl. Beispiel 16N4).

Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass det_n-1 für die Dimension n-1 eine Determinantenfunktion ist, und zeigen, dass dann auch die durch (1) definierte Funktion für Dimension n eine Determinante ist.

a) det E_n = 1.

Sei A = E_n und . Dann hat A_ij eine Spalte, die verschwindet.

Beispiel:    

Genauer: wenn i < j wird die i-te Spalte Null, falls i > j wird die (i-1)-te Spalte Null (die Indizes verschieben sich um eins). Nach Induktionsvoraussetzung ist det_n-1 eine Determinante, daher gilt für : det_n-1 (A_ij ) = 0.

Für i = j: det_n (A) = (-1)^{i + i} a_ii det_n-1 (A_ii ) = det_n-1 (E_n-1 ). Nach Induktionsvoraussetzung folgt: det_n (A) = 1.

b) Multilinearität

Wir überprüfen die Linearität in der k-ten Spalte.

Sei A = (v₁ , ..., v_k , ..., v_n ) und A' = (v₁ , ..., v'_k , ..., v_n ) sowie . Zu zeigen:

Es gilt:

(2)	detn (B) = (-1)i + k bik detn-1 (Bik ),

wobei und B_ik = A_ik = A'_ik

Für gilt nun b_ij = a_ij = a'_ij und nach Induktionsvoraussetzung .

Für (2) gilt weiter:

c) Zu zeigen: det(a_i1 , ..., a_in ) = 0 falls existieren mit a_ik = a_il .

Sei obdA. k < l und die k-te Spalte gleich der l-ten Spalte. Wir entwickeln nach der i-ten Zeile. Für hat A_ij zwei gleiche Spalten und nach Induktionsvoraussetzung folgt: det_n-1 (A_ij ) = 0. Es gilt also

Nach Voraussetzung ist a_ik = a_il . Bezeichnen wir mit w_j die Spaltenvektoren, dann können wir A_ik und A_il folgendermaßen schreiben:

A_ik = (w₁ , ..., w_k-1 , w_{k + 1} , ..., w_l-1 , w, w_{l + 1} , ..., w_n )

A_il = (w₁ , ..., w_k-1 , w, w_{k + 1} , ..., w_l-1 , w_{l + 1} , ..., w_n ),

wobei w = w_k = w_l und der i-ten Eintrag gestrichen ist. Das heißt: A_ik entsteht aus A_il durch Vertauschungen von Spalten:

VT: (w, w_{k + 1} , ...) und nach l - k-1 Vertauschungen: .

Nach Induktionsvoraussetzung ist (wegen Satz 16N3) det_n-1 eine alternierende n-Form) und es gilt:

Setzen wir dies in (3) ein: det_n (A) = (-1)^{i + k} a_ik det_n-1 (A_ik ) + (-1)^{i + l} a_il (-1)^{l - k-1} det_n-1 (A_ik ) = a_ik det_n-1 (A_ik )(-1)^{i + k} ((-1)⁰ + (-1)¹ ) = 0.

Wegen b) und c) können wir Satz 16N3 anwenden, daher ist det eine alternierende Form wegen a) auch eine Determinantenfunktion.

Der Laplacesche Entwicklungssatz garantiert die Existenz einer Determinantenfunktion. Diese ist auch eindeutig bestimmt.

Satz 16N2 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für Determinanten)

Für jeden Körper K und jedes gibt es genau eine Determinantenfunktion.

Beweis

Eindeutigkeit

Sei neben det auch det' eine Determinantenfunktion für und .

Ist rang A < n, sind die Spalten von A also linear abhängig, so gilt nach Satz 16MP (ii) detA = det'A = 0.

Sei nun rang A = n, dann wenden wir auf die Spalten von A das Gaußsche Eliminationsverfahren an und können so A in die Einheitsmatrix E umformen. Nach Definition der Determinantenfunktion gilt detE = det'E = 1. Alle Umformungen können wir wieder rückgängig machen und nach Satz 16MP gilt dann detA = det'A.

Der Eindeutigsbeweis liefert zugleich ein Verfahren zur praktischen Berechnung der Determinante. Sei r die Anzahl der elementaren Spaltenumformungen vom Typ S3 und die bei den Transformationen vom Typ S2 auftretenden Faktoren. Dann gilt nach Satz 16MP und wegen det E = 1: .

Existenz

Folgt direkt aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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