Cramersche Regel

Geschichte

Die cramersche Regel wurde 1750 von Gabriel Cramer im Anhang 1 seines Buchs „Introduction à l′analyse des lignes courbes algébriques“ veröffentlicht. Er gab darin explizit die Formeln für lineare Gleichungssysteme mit bis zu drei Gleichungen an und beschrieb, wie man die Lösungsformeln für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen erstellen kann. Da die Determinante noch nicht eingeführt war, verwendete er Brüche mit je einem Polynom im Zähler und Nenner. Wie der folgende Auszug aus der Originalarbeit zeigt, sind diese mit den Polynomen der Leibniz-Formel identisch.

An diesem Beispiel sieht man auch, dass Cramer noch nicht die heutige Notation linearer Gleichungssysteme verwendete. Mit dieser lautet die Formel wie folgt:

Cramer selbst war bewusst, dass lineare Gleichungssysteme nicht immer eindeutig lösbar sind. Étienne Bézout zeigte dann 1764, dass der Nenner null wird, wenn das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. Des Weiteren gab Cramer keinen Beweis für seine Formel an. Diesen lieferte erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815. Dabei führte er auch die heutzutage verwendete Notation der cramerschen Regel ein.

Gottfried Wilhelm Leibniz brachte die cramersche Regel schon 1678 in einem Manuskript zu Papier. Dieses wurde allerdings erst später entdeckt und hatte somit keine Auswirkung auf die Entwicklung von Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Colin Maclaurin beschrieb in seinem Werk „Treatise of Algebra“ die Spezialfälle der cramerschen Regel für lineare Gleichungssysteme aus zwei oder drei Gleichungen. Er hatte zwar die Idee, diese Formeln auf Gleichungssysteme mit mehreren Gleichungen zu erweitern, doch im Gegensatz zu Cramer fand er keine Regel, wie man die Vorzeichen in den dabei verwendeten Polynomen richtig setzt. Im 20. Jahrhundert entfachte Carl Benjamin Boyer einen Streit unter Mathematik-Historikern, ob Maclaurin oder Cramer der Entdecker der Formel war. Er empfahl dabei auch eine Umbenennung in Maclaurin-Cramer-Regel.

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