Cramersche Regel

Beweis

Für diesen Beweis verwendet man eine Matrix X_i , die entsteht, indem man die i-te Spalte der Einheitsmatrix durch den Lösungsvektor x des Gleichungssystems Ax = b ersetzt. So sieht X₂ für ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen folgendermaßen aus:

Anhand dieses Beispiels lässt sich auch sehen, dass AX_i = A_i gilt.

Da zusätzlich det(X_i ) = x_i gilt, folgt mit der Produktregel für Determinanten

Da die Determinante det(A) nach Voraussetzung nicht das Null-Element ist, existiert det(A)^-1 .

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