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Cholesky-ZerlegungDie Cholesky-Zerlegung (nach André-Louis Cholesky (1875-1918)) bezeichnet in der numerischen Mathematik eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix. Formulierung und AnwendungJede symmetrische positiv definite Matrix
geschrieben werden. Dabei ist
und
wird die Cholesky-Zerlegung - äquivalent - auch formuliert als
Liegt eine Berechnung der Cholesky-Zerlegung vor, so lässt sich das Gleichungssystem
BerechnungFormelnAufwandDen Aufwand der Berechnung betreffend muss die Cholesky-Zerlegung mit dem Eliminationsverfahren nach Gauß und seiner algorithmischen Umsetzung, der LR-Zerlegung, verglichen werden. Letzteres erfordert etwa doppelt so viele Operationen, da nicht nur eine Matrix PseudocodeIn Pseudocode sieht das Cholesky-Verfahren zur Zerlegung der Matrix A in die Form For i = 1 To n For j = i To n Summe = a(i, j) For k = i - 1 To 1 Step -1 Summe = Summe - a(i, k) * a(j, k) Next k If i = j Then If Summe <= 0 Then EXIT // A ist nicht positiv definit else a(j, i) = Sqrt(Summe) // Summe ist positiv Else a(j, i) = Summe / a(i, i) End If Next j Next i Die Indizes der Matrix A entsprechen der mathematischen Notierung Der Algorithmus bearbeitet nur die linke untere Dreiecksmatrix von Es gibt auch eine Variante, die mit semidefiniten Matrizen der Form Vorgerechnetes Beispiel
mit und
Durch Gleichsetzen der Matrixelemente folgt: So wird für die restlichen und
EinsatzbereicheBei der Anwendung der Gaußschen Fehlerquadratmethode, ist eine Möglichkeit, in jedem Schritt die Normalgleichungen, die eine symmetrisch positiv definite Matrix haben, mit dem Cholesky-Verfahren zu lösen. Dies war die Motivation von Cholesky. Beim Gauß-Newton-Verfahren ist damit bei jedem Iterationsschritt ein Gleichungssystem zu lösen, welches sich mit dem Cholesky-Verfahren bestimmen lässt. Die Choleskyzerlegung kann auch zur Gewinnung eines Vorkonditionierungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme mit positiv definiter Matrix benutzt werden; zu diesem Zweck gibt es speziell die Variante der unvollständigen Cholesky-Zerlegung sowie der modifizierten unvollständigen Cholesky-Zerlegung. Gleichzeitig stellt die Zerlegung einen Test dar, ob eine gegebene symmetrische Matrix positiv definit ist. Andernfalls ist nämlich einer der Einträge auf der Diagonalen negativ, so dass die Wurzel nicht gezogen werden kann, oder Null, so dass nicht durch den Eintrag geteilt werden kann. In beiden Fällen bricht der Algorithmus ab. Außerhalb der Mathematik findet die Cholesky-Zerlegung auch Anwendung in der ökonometrischen Erforschung makroökonomischer Zusammenhänge. Hierbei wird bei sogenannten Vektorautoregressiven Modellen (VAR) die Reihenfolge der Beeinflussung der endogenen Variablen untereinander festgelegt. Darüber hinaus wird sie auch bei der Monte-Carlo-Simulation eingesetzt, um vorgegebene Korrelationen in unabhängig generierte Zufallszahlenfolgen (als Diskretisierung stochastischer Prozesse) zu bringen. Literatur
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