Charakteristisches Polynom

Zusammenhang mit Eigenwerten

Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.Auch wenn man zum expliziten Berechnen des charakteristischen Polynoms immer eine Basis und damit eine Darstellungsmatrix auswählt, hängt das Polynom wie auch die Determinante nicht von dieser Wahl ab.

Um zu zeigen, dass die Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, geht man folgendermaßen vor:

Es sei und A eine -Matrix über . Dann gelten die folgenden Äquivalenzen:

ist ein Eigenwert von A.

Es gibt ein mit .

Es gibt ein mit .

ist nicht invertierbar.

ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A.

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