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Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus

Problem: Wie findet man die Eigenwerte einer linearen Abbildung ()?

Lösung: Eigenwert von f ist äquivalent zu ist nicht regulär, wiederum (nach Satz 16N6) äquivalent zu mit der Darstellungsmatrix A von f bezüglich irgendeiner Basis von V. Die formale Entwicklung von

mit einer Unbestimmten t zeigt, dass det(f - tid) = det(A - tE) ein Polynom aus K[t] vom Grade n ist Dieses heißt das charakteristische Polynom.

Beispiel

Sei , . Dann ist: det(A - tE) = - t(t-1)² + 2(t-1) = - t³ + 2t² + t-1

Satz 81GE

Sei V ein Vektorraum über mit und ein Endomorphismus. Dann gilt

Die Eigenwerte von f sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

von f vom Grade n = dim V.

Mit der Darstellungsmatrix A von f bezüglich einer beliebigen Basis von V gilt

genannt charakteristisches Polynom der Matrix .

Bemerkung

Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus f (samt Koeffizienten und Nullstellen) ist eine basisinvariante Grösse, ändert sich beim Wechsel der Basis also nicht.

Ähnliche Matrizen besitzen das gleiche charakteristische Polynom .

Auch beim Übergang von A zur transponierten Matrix A^T ändert sich das charakteristische Polynom nicht: .

.

Satz 81IE

Das charakteristische Polynom von () besitzt die Gestalt

mit Koeffizienten (), den sogenannten Elementarinvarianten von f. Diese lassen sich mit irgendeiner Basis {b₁ , ..., b_n } von V und irgendeiner nichttrivialen Determinantenform auf V berechnen durch:

Insbesondere gilt: k₀ (f) = 1, (Spur von f) und (Determinante von f).

Beweis

Man kann die Koeffizienten k_m (t) auch durch die Einträge der Darstellungsmatrix A von f bezüglich der verwendeten Basis {b₁ , ..., b_n } ausdrücken:

Wegen folgt

Korollar: Für die Koeffizienten k_m (A) () des charakteristischen Polynoms

einer Matrix gilt:

Insbesondere ist k₀ (A) = 1, (Spur von A) und k_n (A) = det A (Determinante von A).

Wichtig: Die Zahlen k_m (A), insbesondere Spur und Determinante sind unabhängig von der verwendeten Darstellungsmatrix A. Sie ändern sich nicht, wenn man zu einer ähnlichen Matrix A' = TAT^-1 übergeht.

Beispiel

Für n = 2 ergibt sich: .

Für n = 3 erhält man: mit .

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanfft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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