Bruchrechnung

Rechenregeln

Rechnen mit Bruchtermen

Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebraeine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auch Variablen.Die Rechenregeln für Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden.

Definitionsbereich

Bei der Bestimmung des Definitionsbereiches eines Bruchterms ist zu beachten, dass der Nenner nicht den Wert 0 haben darf. Beispielsweise wäre der von x abhängige Bruchterm beim Einsetzen von x = 3 nicht definiert.Der Definitionsbereich ist also , wenn als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen vorausgesetzt wird. In komplizierteren Fällen sollte der Nenner in Faktoren zerlegt werden, damit der Definitionsbereich erkennbar wird.

Beispiel: hat den Definitionsbereich .

Kürzen

Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch denselben Rechenausdruck dividiert.Wichtig dabei ist, dass nur Faktoren von Produkten herausgekürzt werden können. Summen und Differenzen im Zähler und im Nenner müssen gegebenenfalls zuerstin Produkte zerlegt werden (Faktorisierung).

Beispiele:

Beim Kürzen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern! So ist im ersten Beispiel der ungekürzte, links stehende Term nur definiert, wenn gilt, der rechtsstehende bereits, wenn nur gilt. Im zweiten Beispiel ist der ungekürzte Term nur definiert, wenn gilt, der gekürzte ist ohne Einschränkungen definiert.

Die Änderung des Definitionsbereiches eines Bruchterms beim Kürzen ist eine der Techniken, mit denen Funktionsterme stetig fortgesetzt werden können.

Addition und Subtraktion

Wie bei Zahlen ist es nötig, die gegebenen Bruchterme gleichnamig zu machen, d.h. auf dengleichen Nenner zu bringen. Man bestimmt einen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), der durch alle gegebenen Nenner teilbar ist.

Beispiel:

Als Hauptnenner ergibt sich 2a² b. Die Erweiterungsfaktoren der dreigegebenen Bruchterme erhält man dadurch, dass man jeweils den gefundenen Hauptnenner durchden bisherigen Nenner dividiert. Die Erweiterungsfaktoren sind also b, a und 2a² b.

Häufig lässt sich der Hauptnenner nur erkennen, wenn man die Nenner in Faktoren zerlegt(Faktorisierung). Dabei greift man oft auf die Methode des Ausklammerns zurückoder verwendet binomische Formeln.

Beispiel:

Multiplikation und Division

Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner multipliziert werden. Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner sollten herausgekürzt werden.

Beispiel:

In komplizierteren Aufgaben sollte man Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, um sie bereits vor der eigentlichen Multiplikation herauskürzen zu können.

Beispiel:

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