Binomialverteilung

Eigenschaften der Binomialverteilung

Symmetrie

• Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen p = 0, p = 0, 5 und p = 1 symmetrisch und ansonsten asymmetrisch.
• Die Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft B(k | p, n) = B(n - k | q, n) mit q = 1 - p.

Erwartungswert

Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert np.

Beweis

Den Erwartungswert μ errechnet man direkt aus der Definition und dem binomischen Lehrsatz zu

oder alternativ mit der Summenregel für Erwartungswerte, wenn man berücksichtigt, dass die identischen Einzelprozesse X_i der Bernoulli-Verteilung mit EX_i = p genügen, zu $X=X\_1+\backslash dotsb+X\_n$ B(n,p)-verteilt, und

E(X) = E(X₁ + dotsb + X_n ) = E(X₁ ) + dotsb + E(X_n ) = nE(X₁ ) = np

Alternativ kann man auch mit Hilfe des Binomiums folgenden Beweis geben:

,

also ist:

und:

Mit a = p und b = 1 - p folgt das gewünschte Ergebnis.

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