Binomialkoeffizient

Rekursive Darstellung und Pascalsches Dreieck

Für den Binomialkoeffizienten nichtnegativer ganzer Zahlen n und k hat man folgende rekursive Darstellung:

Diese Formel eignet sich auch, um alle Binomialkoeffizienten bis zu einer vorgegebenen Schranke für n zu bestimmen, ein Schema dazu ist das Pascalsche Dreieck: Dort entspricht sie der Konstruktionsvorschrift, dass jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen ist (in der Formel oben k durch k-1 ersetzen):

oder andersherum (n durch n-1 ersetzen):

Beweis:

Den Koeffizienten tbinomnk findet man dabei in der (n + 1)-ten Zeile, an der (k + 1)-ten Stelle (da es keine »nullte Zeile/Stelle« gibt):

Pascalsches Dreieck (bis zur 8. Zeile)

Das gleiche Dreieck dargestellt in den tbinomnk - Binomialsymbolen:

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