Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient in der Kombinatorik

Binomialkoeffizienten spielen in der abzählenden Kombinatorik eine zentrale Rolle, denn tbinom nk ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen k Elemente auszuwählen, wobei die Reihenfolge der ausgewählten Elemente nicht berücksichtigt wird.

Anschaulich lässt sich das so erklären: Man berechne mit n! alle möglichen Vertauschungen, suche sich k „Felder“ aus (beispielsweise 6 beim Lotto) und frage sich, wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Felder zu besetzen. Da es keine Rolle spielt, welches „Ereignis“ sich auf welchem Feld ereignet hat, dividiert man alle unter diesen k Elementen möglichen Vertauschungen mit k! heraus. Da es auch keine Rolle spielt, wie die Anordnung auf den uninteressanten Feldern aussieht, dividiert man mit (n - k)! auch diese Vertauschungen heraus.

Formaler lässt sich dieser Sachverhalt auch so formulieren: Eine n-elementige Menge hat genau tbinom nk k-elementige Teilmengen. Aufgrund dieser Parallele wird die Menge aller k-elementigen Teilmengen einer Menge M gelegentlich auch mit tbinom Mk bezeichnet. Mit dieser Schreibweise gilt dann für jede endliche Menge M:

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