Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizienten in der Analysis

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn man für n eine beliebige reelle oder komplexe Zahl zulässt, aber k weiterhin als ganzzahlig voraussetzt. In diesem Fall ist

der Binomialkoeffizient „ über k“ (das leere Produkt im Fall k = 0 ist definiert als 1). Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige mit der kombinatorischen Definition (also der Definition von als die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer festen -elementigen Menge) überein, und für nichtnegative k mit der algebraischen Definition (also der Definition von als das Produkt ).

Beispielsweise ist

und

Für erlaubt die Betafunktion B(x, y) eine Erweiterung der Definition auf reelle x:

wobei die Gammafunktion bezeichnet. Ist dabei x oder eine negative ganze Zahl, so ist der Wert der rechten Seite 0.

Um das Vorzeichen aus dem ersten Parameter zu extrahieren, sofern er ganzzahlig ist, lässt sich die Relation

angeben.

Für reelle Zahlen beim zweiten Parameter kann diese Relation auf

erweitert werden.

Eine weitere Verallgemeinerung bieten die Multinomialkoeffizienten, die bei der Verallgemeinerung des binomischen auf den multinomialen Lehrsatz benötigt werden.

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