Binomialkoeffizient

Ausdrücke mit Binomialkoeffizienten

Vandermondesche Identität

Es gibt auch hier ein kombinatorisches Argument: Die rechte Seite entspricht der Anzahl von k-elementigen Teilmengen einer (m + n)-elementigen Menge von Kugeln. Man kann sich nun vorstellen, dass die Kugeln zwei verschiedene Farben haben: m Kugeln seien rot und n Kugeln grün. Eine k-elementige Teilmenge besteht dann aus einer gewissen Anzahl j von roten Kugeln und k - j vielen grünen. Für jedes mögliche j gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Möglichkeiten für solch eine Aufteilung in rote und grüne Kugeln an. Die Summe liefert die Gesamtzahl. Ein oft als einfacher empfundener Beweis verwendet den Binomischen Lehrsatz in der Form

sowie Ansatz

(1 + x)^m (1 + x)ⁿ = (1 + x)^{m + n}

und Koeffizientenvergleich.

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