Betragsfunktion

Vervollständigung

Der Körper K lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion induzierte Metrik, vervollständigen. Die Vervollständigung von K wird häufig mit bezeichnet.

Die archimedischen Vervollständigungen sind und . Nichtarchimedische sind für Primzahlen p.

Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues.

Bei der Gradbewertung entsteht der Körper K((X)) der (formalen) Potenzreihen

mit einem , der den Ring K[[X]] der (ganzen) Potenzreihen

zum Bewertungsring hat.

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