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Stellenwertnotation

Unter den Darstellungen der Zahlkonstanten haben die Notationen mit Basis, Ziffern und einer Wertigkeit der letzteren abhängig von ihrer Position den gegenüber allen anderen Notationen davongetragen. Wir schreiben

(...a₃ a₂ a₁ a₀ , a_-1 a _{- 2} ...)_b ,

wobei links die Ziffern mit nicht-negativen Exponenten stehen, anschließend das Stellenwert-Trennzeichen Komma »colorWhite´ , «, anschließend die Ziffern mit negativen Exponenten rechts und abschließend die tiefgestellte Basis »colorWhite´ _b « kommt, die weggelassen werden kann, wenn sie zehn ist, und wobei die Ziffern aus einem endlichen Ziffernvorrat Z stammen. Wir meinen damit das Ergebnis der Summe

.

Dabei soll die Anordnung der Laufvariablen und Schleifengrenzen am Summenzeichen ausdrücken, dass wir – entgegen unserer gewohnten Schreibung von links nach rechts – rechts mit beginnen, bei jedem Schritt um die Standardschrittweite 1 nach links hin erhöhen und ganz links die Summationsschleife mit beenden. (Bei n_o < n_u ist die Schleife leer.)

Das Codierungsschema mit Basis b und Ziffernvorrat Z sei mit bezeichnet.

Wir können diese Notation auch auf den nichtarchimedischen Kontext ausdehnen. Sind beide Grenzen n_u und n_o endlich, so kommt in beiden Kontexten dasselbe heraus. Ferner läuft der Additionsalgorithmus zweier Zahlen wie die Summationsschleife von rechts nach links und die Überträge werden immer in die linke Nachbarstelle weitergereicht. Dasselbe gilt für den Subtraktions- und Multiplikationsalgorithmus. In der Schule lernen wir, die archimedische Division links zu beginnen, wogegen man die nichtarchimedische Division besser rechts beginnt.

Schließlich kann man im archimedischen Kontext und im nichtarchimedischen Kontext zulassen, nach der Vervollständigung für die entsprechende Metrik konvergieren in beiden Kontexten die Reihen absolut.

Die Tabelle stellt Voraussetzungen und Unterschiede bei archimedischem und nichtarchimedischem Kontext zusammen. Dabei sei der Einfachheit halber angenommen, dass , also Basis und Ziffern alle ganz sind. Ferner sei im archimedischen Fall , wobei

	archimedisch	nichtarchimedisch
Basis b	>b|>1	prim, d. h. b erzeugt
minimales Ziffernsystem Z	$>\backslash operatorname\{N\}(b)|$ Elementen	Repräsentantensystem des Restklassenkörpers kv
„ganze“ Zahlen
Vorzeichen erforderlich	ja bei b > 0 und	nein
Addition, Subtraktion, Multiplikation	von rechts nach links	von rechts nach links
Überträge	nach links	nach links
Division, Codierung der Ziffern	von links nach rechts	von rechts nach links
Auswahl der Ziffern	Intervallschachtelung	bei [[Division mit Rest>Division durch b
[[Bijektivität>eineindeutig	bei $0\backslash in\; Z$ für eine Menge vom [[Maßtheorie>Maß 0	ja
-Ende	rechts	links
Hauptartikel	Stellenwertsystem	p-adische Zahl

Der Artikel Ultrametrik beschreibt weitere Besonderheiten der Geometrie in Räumen mit nichtarchimedisch induzierter Metrik.

Sowohl für den archimedischen wie den nichtarchimedischen Kontext eignen sich in Codierungsschemata mit einer Primzahl p und einem Repräsentantensystem Z von .Dazu gehören die „balancierten“ Codierungssysteme mit einer ungeraden Primzahl p als Basis und dem Ziffernvorrat . Sie haben die Eigenschaften:

• Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
• Im archimedischen Kontext zeigt die erste von 0 verschiedene Stelle das Vorzeichen an.
• Im archimedischen Kontext geschieht eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Ferner eignen sich für beide Kontexte das bei und bei den Gaußschen Zahlen das . Alle Systeme haben die Eigenschaften:

• Auch im archimedischen Kontext wird kein Vorzeichen benötigt.
• Im nichtarchimedischen Kontext hat eine ganze Zahl aus resp. eine endliche Darstellung, die mit der archimedischen zusammenfällt.
• Ist oder die Darstellung einer Zahl 1/q mit q ganz und ggT(p, q) = 1 unter mit der Periode xyz im archimedischen Kontext, dann ist resp. die Darstellung der Zahl -1/q im nichtarchimedischen Kontext.

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