Betragsfunktion

Betragsnorm

Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist damit eine Norm, genannt Betragsnorm, auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Zahlen. Die Definitheit folgt daraus, dass die einzige Nullstelle der Wurzelfunktion im Nullpunkt liegt, womit

gilt. Die Homogenität folgt für komplexe w, z aus

und die Dreiecksungleichung aus

wobei sich die beiden gesuchten Eigenschaften jeweils durch Ziehen der (positiven) Wurzel auf beiden Seiten ergeben. Hierbei wurde genutzt, dass die Konjugierte der Summe bzw. der Produkts zweier komplexer Zahlen die Summe bzw. das Produkt der jeweils konjugierten Zahlen ist. Weiterhin wurde verwendet, dass die zweimalige Konjugation wieder die Ausgangszahl ergibt und dass der Betrag einer komplexen Zahl immer mindestens so groß wie ihr Realteil ist. Im reellen Fall folgen die drei Normeigenschaften analog durch Weglassen der Konjugation.

Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexen Zahlen induziert. Die Betragsnorm selbst induziert wiederum zwischen reellen oder komplexen zwei Zahlen x und y eine Metrik (Abstandsfunktion)

d(x, y) := | x - y |

durch Bildung des Betrags der Differenz der beiden Zahlen.

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