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Absolutbetrag und Signum

Wir definieren den Absolutbetrag oder kurz Betrag | a | einer reellen Zahl a wie folgt:

Das Signum ordnet jeder reellen Zahl quasi ihr Vorzeichen zu.

.

Man sieht leicht, dass gilt.

Satz 5221C (Eigenschaften des Absolutbetrags)

Für alle gilt:

1. | a | = | -a |
   
2. 
3. | ab | = | a||b | sowie für
4. (Dreiecksungleichung)
5. 

Beweis

(i)-(iii) Ergeben sich unmittelbar aus der Definition bzw. durch Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von a und b.

(iv) 1. Fall: . Dann gilt: | a + b | = a + b = | a | + | b |

2. Fall: a, b < 0. Dann gilt | a + b | = - (a + b) = ( - a) + ( - b) = | a | + | b |

3. Fall: und b < 0. Dann gilt: | a | + | b | = a - b

3.1 Unterfall: . Dann ist und somit | a + b | = a + b. Wegen b < 0 gilt b < - b und auch a + b < a - b.

3.2 Unterfall: a < - b. Dann ist a + b < 0 und somit | a + b | = - (a + b) = - a - b. Wegen gilt - a < a und auch .

4. Fall: a < 0 und beweist man analog zum 3. Fall. Man braucht lediglich a und b zu vertauschen.

(v) 1. Fall: , dann gilt ||a | - | b|| = | a | - | b | = | (a - b) + b | - | b |

2. Fall: | a | < | b | , dann gilt ||a | - | b|| = | b | - | a | = | (b - a) + a | - | a |

Man kann Maximum und Minimum wechselweise durch den Betrag ausdrücken.

Satz 5223C

Für alle reellen Zahlen a, b gilt:

1. | a | = max{a, -a} = - min{a, -a}
2. 
3. 

Beweis

(i) trivial.

(ii) Sei dann gilt . Die anderen Fälle laufen analog.

Satz 5221D (Verallgemeinerte Dreiecksungleichung)

Seien für mit die a₁ , a₂ , ..., a_n reelle Zahlen, dann gilt:

oder in Summenschreibweise:

Beweis

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion unter Benutzung der Dreiecksungleichung aus Satz 5221C (iv). Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung trivial.

Induktionsschritt:

    (nach Dreiecksungleichung)

    (nach Induktionsvoraussetzung)

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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