Beschränktheit

Funktionalanalysis

Permanenzeigenschaften

• Teilmengen beschränkter Mengen sind beschränkt.
• Endliche Vereinigungen beschränkter Mengen sind beschränkt.
• Der topologische Abschluss einer beschränkten Menge ist beschränkt.
• Sind S und T abgeschlossen, so auch
• Eine stetige, lineare Abbildung zwischen lokalkonvexen Räumen bildet beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab (siehe dazu auch: Bornologischer Raum).
• Ist E lokalkonvex, so sind die konvexe Hülle und die absolutkonvexe Hülle einer beschränkten Menge wieder beschränkt.

Beschränkte Abbildungen

Sind V und W topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Sind V und W normierte Räume, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass eine Konstante c > 0 existiert, so dass

für alle

gilt. Die Menge dieser c ist nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt, daher existiert das Infimum dieser Menge – es ist identisch mit der Operatornorm von T. Man kann zeigen, dass jeder beschränkte lineare Operator zwischen normierten Räumen stetig ist und umgekehrt.

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