Beschränktheit

Definitionen

Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation

Sei M eine durch die Relation halbgeordnete Menge und S eine Teilmenge von M.

• Ein Element heißt obere Schranke von S, wenn gilt: . Das bedeutet: Alle Elemente von S sind kleiner oder gleich der oberen Schranke b. Falls eine solche obere Schranke b existiert, heißt S nach oben beschränkt (bezüglich der Relation ).
• Ein Element heißt untere Schranke von S, wenn gilt: . Das bedeutet: Alle Elemente von S sind größer oder gleich der unteren Schranke a. Falls eine solche untere Schranke a existiert, heißt S nach unten beschränkt (bezüglich der Relation ).
• Eine Menge S, die in diesem Sinn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, wird als beschränkte Menge (bezüglich der Relation ) bezeichnet.
• Eine Menge die nicht beschränkt ist, heißt unbeschränkt.
• Eine Funktion in eine halbgeordnete Menge M heißt nach oben bzw. unten beschränkt, wenn in M eine obere bzw. untere Schranke für die Bildmenge existiert. Ist f sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, nennt man f beschränkt, sonst unbeschränkt.

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