Beschränktheit

Beschränkte Funktionen und gleichmäßige Beschränktheit

Punktweise Beschränktheit

Eine Familie von Funktionen auf einer Menge X deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt, wenn für jeden Punkt die Menge beschränkt ist. ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle x von irgendeiner Funktion der Familie angenommen werden.

Man beachte:

• Eine gleichmäßig beschränkte Familie ist notwendig punktweise beschränkt.
• Eine punktweise beschränkte Familie kann unbeschränkte Funktionen enthalten.
• Jede gleichmäßig beschränkte Familie besteht aus beschränkten Funktionen, aber nicht jede Familie von beschränkten Funktionen ist gleichmäßig beschränkt.
• Eine Familie von beschränkten Funktionen muss nicht punktweise beschränkt sein.

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