Beschränktheit

Beschränkte Funktionen und gleichmäßige Beschränktheit

Beispiele

Alle Familien in den Beispielen sind als Funktionenfolgen definiert. Die Familie ist hier immer .

1. Die Folge der auf X = ]0, 1[ definierten reellwertigen Funktionen ist punktweise beschränkt. Keine der Funktionen der Familie ist beschränkt, damit ist sie auch nicht gleichmäßig beschränkt.
2. Die Folge ist auf der Menge gleichmäßig beschränkt (durch 1). Auf einer beschränkten Teilmenge X₁ der komplexen Zahlenebene, die Punkte z mit einem Betrag größer 1 enthält, ist die Folge immer noch eine Folge von beschränkten Funktionen aber weder punktweise noch gleichmäßig beschränkt. Auf der Menge ist keine der Funktionen beschränkt und die Folge auch nicht punktweise beschränkt.
3. Die Folge der konstanten und damit beschränkten reellwertigen Funktionen auf einer beliebigen nichtleeren Menge X ist punktweise unbeschränkt.

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